Вероятностью события называют отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов эксперимента.
Формула: P(A) =
mn
Где m — количество исходов, способствующих наступлению события, а n — число абсолютно всех возможных исходов.
Основные статистические характеристики выборки
Среднее арифметическое — частное от деления суммы всех чисел числового ряда на их количество.
Медиана ряда данных — число, расположенное строго посередине упорядоченного числового набора. Если количество чисел четное, медиана равна среднему арифметическому двух центральных чисел.
Размах выборки — разность между самым большим и самым маленьким значениями в числовом наборе.
Визуализация показателей выборки
Ниже представлена графическая инфографика параметров для демонстрационной упорядоченной выборки данных: 2, 4, 7, 11, 16
Среднее
Медиана
Размах
❌НЕСОВМЕСТНЫЕ СОБЫТИЯ
Что значит: События не могут произойти одновременно. Они не пересекаются и не дружат. Пример: Нельзя за один бросок кубика выкинуть и 2, и 3. Нельзя выиграть и проиграть одну партию разом. Формула ИЛИ (Объединение):P(U ∪ V) = P(U) + P(V)
Пример из задачи 1:
События не пересекаются. Складываем их шансы: 0,2 + 0,4 = 0,6
🔀СОВМЕСТНЫЕ СОБЫТИЯ (ИЛИ)
What значит: События могут случиться одновременно. Наезжают друг на друга, как круги. Пример: По дороге можно встретить и кошку, и злую собаку одновременно. Нам подходит любая встреча. Формула с вычитанием нахлёста:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Пример из задачи 5а:
Складываем шансы зверей и вычитаем их общую серединку: 0,1 + 0,4 - 0,04 = 0,46
🔒ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (И)
Что значит: События совпадают по времени. Нам нужно, чтобы случились оба сразу. Пример: Кофе закончился и в первом, и во втором автомате к вечеру. Ищем этот общий нахлёст. Формула поиска серединки:P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)
Пример из задачи 4:
Складываем круги и вычитаем их настоящую склеенную площадь: 0,8 + 0,6 - 0,9 = 0,5
🔄ОТРИЦАНИЕ (НЕ)
Что значит: Событие вывернули наизнанку. Нам нужно узнать шанс, что оно НЕ произойдет. Пример: Дойти из школы до дома спокойно — это значит не встретить ни кошку, ни злую собаку. Формула вычитания из единицы:P(A̅) = 1 - P(A)
Пример из задачи 5б:
Из всего целого дня (1) вычитаем шанс встретить хоть кого-то: 1 - 0,46 = 0,54
2. Практический тренажер
Введите численный ответ в поле ввода и нажмите кнопку «Проверить». Страница сразу покажет результат и выведет развернутое пошаговое объяснение.
Задача 1. Вероятность классическая (Кубик)
Игральную кость (кубик с гранями от 1 до 6) бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет четное число очков.
Подробное объяснение решения:
1. Сначала определим общее число возможных исходов при броске кубика. На кубике всего 6 граней, значит общее число исходов n = 6.
2. Теперь посчитаем благоприятные исходы (четные числа). Четными являются грани с числами 2, 4 и 6. Таким образом, количество благоприятных исходов m = 3.
3. Применяем классическую формулу вероятности:
P =
mn
=
36
=
12
= 0.5. Ответ: 0.5
Задача 2. Вероятность предметов (Случайный выбор)
В коробке лежат 4 красных, 5 синих и 11 зеленых карандашей. Из коробки наугад извлекают один карандаш. Какова вероятность, что этот карандаш окажется синим?
Подробное объяснение решения:
1. Сначала вычислим полное количество всех карандашей в коробке, получив сумму всех возможных исходов:
n = 4 + 5 + 11 = 20 (всего исходов).
2. Количество благоприятных исходов определяется условием вопроса — нам нужно вытащить синий карандаш. Синих карандашей в коробке 5 штук, следовательно, m = 5.
3. Рассчитаем конечную вероятность события:
P =
520
=
14
= 0.25. Ответ: 0.25
Задача 3. Статистика (Медиана ряда данных)
Дана выборка результатов прыжков в длину (в метрах): 3, 5, 2, 8, 6. Вычислите медиану этой статистической выборки.
Подробное объяснение решения:
1. Для нахождения медианы числового ряда первым шагом необходимо упорядочить все числа строго по возрастанию: 2, 3, 5, 6, 8
2. Подсчитаем общее число элементов в данном ряду. Количество элементов равно 5 (это нечетное число).
3. Так как объем выборки нечетный, медианой считается то число, которое расположено строго посередине набора (третий элемент). Это число 5. Ответ: 5
Задача 4. Статистика (Среднее арифметическое)
Ученик за четверть получил следующие оценки по алгебре: 5, 4, 3, 5, 3, 4. Найдите среднее арифметическое его текущих оценок.
Подробное объяснение решения:
1. Согласно определению среднего арифметического, сначала найдем полную сумму всех имеющихся в ряду значений:
Сумма = 5 + 4 + 3 + 5 + 3 + 4 = 24.
2. Посчитаем количество полученных учеником оценок: в ряду ровно 6 чисел.
3. Разделим полученную сумму на число слагаемых:
Среднее значение =
246
= 4. Ответ: 4
Задача 5. Множества и круги Эйлера
В классе 25 человек. Из них 15 играют в баскетбол, 12 занимаются плаванием, а 4 человека вообще не ходят в секции. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик занимается и баскетболом, и плаванием одновременно.
Подробное объяснение решения:
1. Сначала найдем число учеников, которые посещают хотя бы одну спортивную секцию: 25 − 4 = 21 человек.
2. Если сложить участников двух секций отдельно (15 + 12 = 27), то ученики, посещающие оба кружка, будут посчитаны дважды.
3. Найдем число таких учеников (пересечение множеств): 27 − 21 = 6 человек.
4. Искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу учеников: P = 6 / 25 = 0,24. Ответ: 0,24 (или 0.24)
Задача 6. Дерево случайного эксперимента
Монету подбрасывают ровно три раза подряд. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Подробное объяснение решения:
1. При каждом броске есть 2 исхода (орёл или решка). При трех бросках общее число комбинаций равно: 2³ = 8 вариантов (ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР).
2. Выпишем благоприятные исходы, где орёл (О) встречается ровно два раза: ООР, ОРО, РОО. Их ровно 3.
3. Вычислим классическую вероятность: P = 3 / 8 = 0,375. Ответ: 0,375 (или 0.375)
Задача 7. Противоположные события
Вероятность того, что новый фен проработает больше года без поломок, равна 0,94. Найдите вероятность того, что фен сломается в течение первого года службы.
Подробное объяснение решения:
1. Работа без поломок и поломка в первый год — это два противоположных события.
2. Сумма вероятностей противоположных событий всегда строго равна 1.
3. Чтобы найти вероятность поломки, вычтем из единицы вероятность исправной работы: P = 1 − 0,94 = 0,06. Ответ: 0,06 (или 0.06)
Задача 8. Умножение вероятностей независимых событий
Два биатлониста стреляют по одной мишени независимо друг от друга. Вероятность попадания первого спортсмена равна 0,8, а второго — 0,7. Найдите вероятность того, что при одном одновременном выстреле оба биатлониста промахнутся.
Подробное объяснение решения:
1. Сначала найдем вероятность промаха для каждого спортсмена как противоположное событие:
Промах первого биатлониста: 1 − 0,8 = 0,2.
Промах второго биатлониста: 1 − 0,7 = 0,3.
2. Так как спортсмены стреляют независимо друг от друга, вероятность наступления обоих событий одновременно находится путем их умножения:
P = 0,2 × 0,3 = 0,06. Ответ: 0,06 (или 0.06)
Задача 9. Паук в лабиринте
Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает дальнейший путь случайным образом. Схема лабиринта представлена на рисунке ниже. Определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу С.
Подробное объяснение решения:
1. Сначала найдем вероятность того, что на первой развилке паук повернет в нужную сторону (направо):
Всего путей два, значит вероятность равна: 1 ÷ 2 = 0,5.
2. На следующей развилке паук снова выбирает один из двух путей. Вероятность повернуть к выходу С равна: 1 ÷ 2 = 0,5.
3. Так как выбор путей на развилках происходит независимо друг от друга, итоговая вероятность находится путем их умножения:
P = 0,5 × 0,5 = 0,25. Ответ: 0,25 (или 0.25)
Задача 10. Ровно один выигрыш в шахматах
Михаил играет в шахматы с компьютерной программой две партии подряд. Вероятность его выигрыша в первой партии равна 0,9. Если Михаил выиграет первую партию, то вероятность его выигрыша во второй партии остаётся прежней, а если проиграет — уменьшится до 0,8. Найдите вероятность того, что Михаил выиграет ровно одну партию из двух.
Подробное объяснение решения:
1. Событие состоит из двух несовместных вариантов: выиграл первую партию и проиграл вторую, либо проиграл первую и выиграл вторую.
Вариант 1: Выиграл первую (0,9) и проиграл вторую (1 − 0,9 = 0,1). Вероятность: 0,9 × 0,1 = 0,09.
Вариант 2: Проиграл первую (1 − 0,9 = 0,1) и выиграл вторую (0,8). Вероятность: 0,1 × 0,8 = 0,08.
2. Общая вероятность находится путем сложения полученных несовместных исходов:
P = 0,09 + 0,08 = 0,17. Ответ: 0,17 (или 0.17)
Задача 11. Система контроля батареек
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Подробное объяснение решения:
1. Батарейка может быть забракована в двух случаях: она неисправна и отбракована, либо она исправна и отбракована по ошибке.
Случай 1: Неисправная батарейка забракована. Вероятность: 0,02 × 0,97 = 0,0194.
Случай 2: Исправная батарейка (1 − 0,02 = 0,98) забракована по ошибке. Вероятность: 0,98 × 0,05 = 0,049.
2. Итоговая вероятность находится путем сложения результатов этих двух случаев:
P = 0,0194 + 0,049 = 0,0684. Ответ: 0,0684 (или 0.0684)
Задача 12. Встреча животных по дороге
Вероятность встретить по дороге домой черную кошку равна 0,1, а злую собаку — 0,4. Вероятность встретить и кошку, и собаку одновременно составляет 0,04. Найдите вероятность того, что вам встретится хотя бы одно из этих животных.
Подробное объяснение решения:
1. Так как события могут произойти одновременно, они являются совместными (круги накладываются друг на друга).
2. При простом сложении вероятностей кошки (0,1) и собаки (0,4) их общая зона пересечения посчитается дважды. Чтобы найти вероятность объединения («хотя бы одно»), нужно вычесть вероятность их пересечения:
P = 0,1 + 0,4 − 0,04 = 0,46. Ответ: 0,46 (или 0.46)
Задача 13. Прогноз погоды
По прогнозу метеорологов вероятность того, что завтра будет ясный день, равна 0,25, а вероятность затяжного дождя — 0,45. Найдите вероятность того, что завтра погода будет без затяжного дождя (будет либо ясно, либо просто облачно без осадков).
Подробное объяснение решения:
1. Полная вероятность всех возможных погодных условий за день всегда равна единице (1,00).
2. Нам нужно найти вероятность того, что затяжного дождя НЕ будет. Для этого из общей единицы вычитаем шанс дождливой погоды:
P = 1 − 0,45 = 0,55. Ответ: 0,55 (или 0.55)
Задача 14. Два автомата с кофе
Вероятность того, что к вечеру кофе закончится в первом автомате, равна 0,3. Такая же вероятность для второго автомата. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах сразу, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе закончится только в одном из автоматов.
Подробное объяснение решения:
1. Сначала найдем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате (общая площадь двух кругов): 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.
2. Нам нужно узнать шанс того, что кофе нет только в одном из автоматов. Для этого из общей площади поломок (0,48) убираем центральную часть пересечения (0,12), когда кофе закончился в двух местах одновременно:
P = 0,48 − 0,12 = 0,36. Ответ: 0,36 (или 0.36)