Практические задачи на тему подобия треугольников с пошаговыми решениями
Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны с коэффициентом подобия k = 2.5. Если сторона AB = 6 см, найдите соответствующую сторону A₁B₁.
Решение:
Коэффициент подобия k = 2.5 показывает, что треугольник ABC в 2.5 раза больше треугольника A₁B₁C₁. Поэтому A₁B₁ = AB / k = 6 / 2.5 = 2.4 см.
Треугольники ABC и DEF подобны. Периметр треугольника ABC равен 36 см, а периметр треугольника DEF равен 24 см. Найдите коэффициент подобия этих треугольников.
Решение:
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. k = P(ABC) / P(DEF) = 36 / 24 = 1.5.
Треугольники MNK и PQR подобны с коэффициентом подобия k = 3. Если площадь треугольника MNK равна 12 см², найдите площадь треугольника PQR.
Решение:
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. S(PQR) = S(MNK) / k² = 12 / 3² = 12 / 9 = 1.33 см².
В треугольниках ABC и DEF угол A = углу D = 60°, угол B = углу E = 45°. Докажите, что треугольники подобны.
Решение:
По первому признаку подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Угол C = 180° - 60° - 45° = 75°, угол F = 180° - 60° - 45° = 75°. Следовательно, треугольники ABC и DEF подобны.
Человек ростом 1.8 м стоит на расстоянии 6 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5 м. Найдите длину тени человека.
Решение:
Образуются два подобных прямоугольных треугольника. Пусть x - длина тени. Тогда из подобия треугольников: рост человека / высота фонаря = длина тени / (расстояние до столба + длина тени). 1.8 / 5 = x / (6 + x). Решаем уравнение: 1.8(6 + x) = 5x → 10.8 + 1.8x = 5x → 10.8 = 3.2x → x = 3.375 м.
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CD к гипотенузе AB. Докажите, что треугольники ACD и CBD подобны треугольнику ABC.
Решение:
1. Треугольник ACD подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠A - общий, ∠ACD = ∠ABC (так как оба равны 90° - ∠A).
2. Треугольник CBD подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠B - общий, ∠BCD = ∠BAC (так как оба равны 90° - ∠B).
3. Следовательно, все три треугольника подобны друг другу.
В треугольнике ABC сторона AB = 10 см, AC = 8 см, BC = 6 см. Найдите длину высоты, опущенной из вершины A на сторону BC.
Решение:
1. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: p = (10+8+6)/2 = 12 см. S = √[12(12-10)(12-8)(12-6)] = √[12×2×4×6] = √576 = 24 см².
2. Высота ha = 2S/BC = 2×24/6 = 8 см.
3. Можно также использовать подобие: построить прямоугольный треугольник с высотой и найти через соотношения сторон.
Стороны треугольника ABC равны 6 см, 8 см и 10 см. Стороны треугольника DEF равны 9 см, 12 см и 15 см. Докажите, что треугольники подобны.
Решение:
Проверим соотношения сторон: 9/6 = 1.5, 12/8 = 1.5, 15/10 = 1.5. Все отношения равны, значит треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам).
На одной стороне угла отложены отрезки AB = 5 см и BC = 10 см. Через точки B и C проведены параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла в точках B₁ и C₁ соответственно. Найдите длину отрезка B₁C₁, если AB₁ = 4 см.
Решение:
По теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки: AB/BC = AB₁/B₁C₁. Подставим значения: 5/10 = 4/B₁C₁. Отсюда B₁C₁ = (10 * 4) / 5 = 8 см.
В треугольнике ABC точка M — середина стороны AB, а точка N лежит на стороне BC. Прямая MN параллельна стороне AC. Найдите AC, если отрезок MN равен 7 см.
Решение:
Так как M — середина AB и MN || AC, то по теореме Фалеса N — середина BC. Значит, MN — средняя линия треугольника ABC. Средняя линия равна половине основания: MN = AC / 2. Следовательно, AC = 2 * MN = 2 * 7 = 14 см.
Отрезок AB длиной 12 см нужно разделить на три равные части с помощью теоремы Фалеса. На вспомогательном луче отложены три равных отрезка AX = XY = YZ. Точка Z соединена с B. Чему будет равна длина каждой части на отрезке AB?
Решение:
Если на одной стороне угла (луче) отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, то на другой стороне (AB) они также отсекут равные отрезки. Так как AX=XY=YZ, то AB делится на 3 равных части: 12 / 3 = 4 см.
На сторонах угла с вершиной O проведены параллельные прямые AA₁ и BB₁. Известно, что OA = 6 см, OB = 15 см и OA₁ = 4 см. Найдите длину отрезка A₁B₁.
Решение:
По теореме Фалеса: OA / AB = OA₁ / A₁B₁. Сначала найдем AB: AB = OB - OA = 15 - 6 = 9 см. Теперь составим пропорцию: 6 / 9 = 4 / A₁B₁. Отсюда A₁B₁ = (9 * 4) / 6 = 36 / 6 = 6 см.